Spis treści

Kompletny przewodnik po definicji, własnościach i zastosowaniach macierzy z interaktywnym kalkulatorem

Czym jest macierz?

Macierz to prostokątna tablica liczb, symboli lub wyrażeń matematycznych ułożonych w wiersze i kolumny. Macierze są fundamentalnym pojęciem w algebrze liniowej i znajdują szerokie zastosowanie w matematyce oraz naukach pokrewnych.

Macierz definiuje się poprzez jej wymiary – liczbę wierszy (m) i liczbę kolumn (n). Mówimy wtedy o macierzy wymiaru m×n. Na przykład, macierz o 3 wierszach i 2 kolumnach to macierz 3×2.

Przykład macierzy 2×3:

1	2	3
4	5	6

Kalkulator Macierzowy

Wykonuj operacje na macierzach 3×3: dodawanie, mnożenie, odwrotność, wyznacznik i więcej

Kalkulator Macierzowy Online

Macierz A

Macierz B

Macierz Wynikowa (R)

Operacje Podstawowe

Operacje Zaawansowane

Przenoszenie Macierzy

Wyznaczniki

Podstawowe pojęcia związane z macierzami

- Element macierzy – pojedyncza wartość w macierzy, oznaczana zwykle jako a_ij, gdzie i to numer wiersza, a j to numer kolumny
- Macierz kwadratowa – macierz, która ma taką samą liczbę wierszy i kolumn
- Macierz jednostkowa – macierz kwadratowa, która na głównej przekątnej ma jedynki, a poza nią zera
- Macierz transponowana – macierz powstała przez zamianę wierszy na kolumny
- Wyznacznik – specjalna wartość liczbowa przypisana macierzy kwadratowej

Podstawowe działania na macierzach

- Dodawanie i odejmowanie macierzy – Macierze można dodawać i odejmować tylko wtedy, gdy mają takie same wymiary. Działania te wykonuje się poprzez dodawanie/odejmowanie odpowiadających sobie elementów.</Macierz można pomnożyć przez liczbę (skalar), mnożąc każdy element macierzy przez tę liczbę.li>
- Mnożenie macierzy – Mnożenie macierzy jest możliwe, gdy liczba kolumn pierwszej macierzy równa się liczbie wierszy drugiej macierzy. Wynikiem jest macierz, której elementy są sumami iloczynów elementów wierszy pierwszej macierzy przez odpowiadające elementy kolumn drugiej macierzy.
- Mnożenie przez skalar – Macierz można pomnożyć przez liczbę (skalar), mnożąc każdy element macierzy przez tę liczbę.
- Wyznacznik macierzy – Wyznacznik (det) jest wartością liczbową charakterystyczną dla macierzy kwadratowej. Dla macierzy 2×2 oblicza się go jako ad – bc, gdzie a, b, c, d to elementy macierzy.
- Macierz odwrotna – Macierz odwrotna A^-1 do macierzy kwadratowej A spełnia warunek A × A^-1 = I, gdzie I to macierz jednostkowa. Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A jest różny od zera.

Właściwości macierzy

Własności działań na macierzach

- Dodawanie macierzy jest przemienne i łączne: A + B = B + A, (A + B) + C = A + (B + C)
- Mnożenie macierzy jest łączne: (A × B) × C = A × (B × C), ale nie jest przemienne: A × B ≠ B × A
- Mnożenie macierzy jest rozdzielne względem dodawania: A × (B + C) = A × B + A × C

Rodzaje macierzy

- Macierz zerowa – wszystkie elementy są równe zero
- Macierz diagonalna – niezerowe elementy tylko na głównej przekątnej
- Macierz trójkątna – górna (niezerowe elementy na i nad przekątną) lub dolna (niezerowe elementy na i pod przekątną)
- Macierz symetryczna – równa swojej transpozycji: A = A^T
- Macierz ortogonalna – jej transpozycja jest równa jej odwrotności: A^T = A^-1

Zastosowania macierzy w praktyce

Macierze znajdują szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauki i techniki. Oto niektóre z nich:

Grafika komputerowa

Macierze transformacji są używane do obracania, skalowania i przesuwania obiektów w przestrzeni 2D i 3D.

Układy równań liniowych

Macierze pozwalają na efektywne rozwiązywanie układów równań liniowych metodami takimi jak eliminacja Gaussa.

Analiza danych

W statystyce i uczeniu maszynowym macierze są używane do reprezentowania zbiorów danych i wykonywania operacji na nich.

Fizyka i inżynieria

Macierze są używane w mechanice kwantowej, teorii względności, analizie konstrukcji i wielu innych dziedzinach.

Kryptografia

Niektóre metody szyfrowania wykorzystują operacje na macierzach do kodowania i dekodowania informacji.

Ekonomia

Macierze są używane w analizie input-output do modelowania zależności między różnymi sektorami gospodarki.

Jak wstawić kalkulator na własną stronę?

Można to zrobić ręcznie lub pobrać gotowca i go edytować jak dusza zapragnie.

Samodzielnie:

Tworzymy odpowiedni plik: index.html i wstawiamy poniższy kod

index.html

<!DOCTYPE html>
<html lang="pl">
<head>
<meta charset="UTF-8">
<meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1.0">
<title>Kalkulator Macierzowy Online | Obliczenia na Macierzach 3x3</title>
<meta name="description" content="Bezpłatny kalkulator macierzowy online. Wykonuj operacje na macierzach 3x3: dodawanie, mnożenie, odwrotność, wyznacznik, macierz dołączona. Łatwy w użyciu, responsywny i precyzyjny.">
<meta name="keywords" content="kalkulator macierzowy, macierz odwrotna, wyznacznik macierzy, mnożenie macierzy, dodawanie macierzy, macierz 3x3, algebra liniowa, matematyka, obliczenia macierzowe">
<meta name="author" content="www.skrip.pl">
<style>
.matrix-calculator {
    font-family: 'Segoe UI', Tahoma, Geneva, Verdana, sans-serif;
    max-width: 1200px;
    margin: 0 auto;
    padding: 20px;
    background: rgba(225, 225, 225, 0.08);
    border: 1px solid rgba(155, 155, 155, 0.3);
    box-shadow: 0 4px 15px rgba(0,0,0,0.08);
    border-radius: 10px;
}
.matrix-header {
    text-align: center;
    margin-bottom: 30px;
}
.matrix-header h1 {
    font-size: 1.5em;
    margin-bottom: 10px;
    text-shadow: 1px 1px 3px rgba(0, 0, 0, 0.2);
}
.matrix-header p {
    font-size: 1em;
    opacity: 0.9;
}
.matrices-container {
    display: flex;
    flex-wrap: wrap;
    justify-content: center;
    gap: 20px;
    margin-bottom: 30px;
}
.matrix-wrapper {
    background: rgba(155, 155, 155, 0.1);
    border: 1px solid rgba(155, 155, 155, 0.3);
    box-shadow: 0 4px 15px rgba(0,0,0,0.08);
    border-radius: 10px;
    padding: 15px;
    flex: 1;
    min-width: 300px;
    max-width: 400px;
}
.matrix-title {
    font-weight: bold;
    margin-bottom: 10px;
    text-align: center;
    font-size: 1em;
}
.matrix {
    display: grid;
    grid-template-columns: repeat(3, 1fr);
    gap: 8px;
    margin-bottom: 15px;
}
.matrix-input {
    width: 100%;
    height: 40px;
    border: none;
    border-radius: 5px;
    text-align: center;
    font-size: 1rem;
    background: rgba(155, 155, 155, 0.1);
    border: 1px solid rgba(155, 155, 155, 0.3);
    transition: all 0.3s ease;
}
.matrix-input:focus {
    outline: none;
    box-shadow: 0 0 0 2px #209cff;
    background: rgba(155, 155, 155, 0.3);
    border: 1px solid rgba(155, 155, 155, 0.1);
}
.operations-container {
    display: flex;
    flex-wrap: wrap;
    gap: 20px;
    justify-content: center;
}
.operation-group {
    background: rgba(155, 155, 155, 0.1);
    border: 1px solid rgba(155, 155, 155, 0.3);
    box-shadow: 0 4px 15px rgba(0,0,0,0.08);
    border-radius: 10px;
    padding: 15px;
    flex: 1;
    min-width: 250px;
    max-width: 350px;
}
.operation-group h2 {
    text-align: center;
    margin-bottom: 15px;
    font-size: 1.1em;
}
.button-grid {
    display: grid;
    grid-template-columns: repeat(auto-fit, minmax(120px, 1fr));
    gap: 10px;
}
.btn1 {
    padding: 10px 15px;
    border: none;
    border-radius: 5px;
    background: #2196f3;
    color: white;
    font-size: 0.9em;
    font-weight: bold;
    cursor: pointer;
    transition: all 0.3s ease;
}
.btn1:hover {
    background: #ff0000;
    transform: translateY(-2px);
    box-shadow: 0 4px 8px rgba(0, 0, 0, 0.2);
}
.btn1-clear {
    background: #ff0000;
}
.btn1-clear:hover {
    background: #2196f3;
}
.determinant-input {
    width: 100%;
    height: 40px;
    border: 1px solid rgba(155, 155, 155, 0.3);
    border-radius: 5px;
    text-align: center;
    font-size: 1rem;
    background: rgba(205, 205, 205, 0.1);
    margin-top: 5px;
}
.seo-section {
    background: rgba(255, 255, 255, 0.1);
    border-radius: 10px;
    padding: 20px;
    margin-top: 30px;
}
.seo-section h2 {
    text-align: center;
    margin-bottom: 15px;
}
.seo-section p {
    line-height: 1.6;
    margin-bottom: 15px;
}
footer {
    text-align: center;
    padding: 0.2em 0;
    margin-top: 0.2em;
    color: rgba(135, 135, 135, 0.5);
    font-size: small;
}
a:link {color:rgba(155, 155, 155, 0.5);;text-decoration:none;}
a:visited {color:rgba(155, 155, 155, 0.3);;text-decoration:none;}
a:hover {text-decoration:underline;}    

/* Responsywność */
@media (max-width: 768px) {
.matrices-container, .operations-container {
    flex-direction: column;
    align-items: center;
}
.matrix-wrapper, .operation-group {
    width: 100%;
    max-width: 100%;
}
.matrix-header h1 {
    font-size: 2rem;
}
}

@media (max-width: 480px) {
.matrix-input, .determinant-input {
    height: 35px;
    font-size: 0.9rem;
}
.btn1 {
    padding: 8px 12px;
    font-size: 0.9rem;
}
.matrix-header h1 {
    font-size: 1.8rem;
}
}
</style>
</head>
<body>
<div class="matrix-calculator">
  <div class="matrix-header">
    <h1>Kalkulator Macierzowy Online</h1>
    <p>Wykonuj operacje na macierzach 3x3: dodawanie, mnożenie, odwrotność, wyznacznik i więcej</p>
  </div>
  <div class="matrices-container">
    <div class="matrix-wrapper">
      <div class="matrix-title">Macierz A</div>
      <div class="matrix">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a11" placeholder="a11">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a12" placeholder="a12">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a13" placeholder="a13">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a21" placeholder="a21">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a22" placeholder="a22">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a23" placeholder="a23">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a31" placeholder="a31">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a32" placeholder="a32">
        <input class="matrix-input" type="number" name="a33" placeholder="a33">
      </div>
      <button class="btn1 btn1-clear" onclick="clearMatrix('A')">Wyczyść A</button>
    </div>
    <div class="matrix-wrapper">
      <div class="matrix-title">Macierz B</div>
      <div class="matrix">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b11" placeholder="b11">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b12" placeholder="b12">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b13" placeholder="b13">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b21" placeholder="b21">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b22" placeholder="b22">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b23" placeholder="b23">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b31" placeholder="b31">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b32" placeholder="b32">
        <input class="matrix-input" type="number" name="b33" placeholder="b33">
      </div>
      <button class="btn1 btn1-clear" onclick="clearMatrix('B')">Wyczyść B</button>
    </div>
    <div class="matrix-wrapper">
      <div class="matrix-title">Macierz Wynikowa (R)</div>
      <div class="matrix">
        <input class="matrix-input" type="number" name="r11" placeholder="r11" readonly>
        <input class="matrix-input" type="number" name="r12" placeholder="r12" readonly>
        <input class="matrix-input" type="number" name="r13" placeholder="r13" readonly>
        <input class="matrix-input" type="number" name="r21" placeholder="r21" readonly>
        <input class="matrix-input" type="number" name="r22" placeholder="r22" readonly>
        <input class="matrix-input" type="number" name="r23" placeholder="r23" readonly>
        <input class="matrix-input" type="number" name="r31" placeholder="r31" readonly>
        <input class="matrix-input" type="number" name="r32" placeholder="r32" readonly>
        <input class="matrix-input" type="number" name="r33" placeholder="r33" readonly>
      </div>
      <button class="btn1 btn1-clear" onclick="clearMatrix('R')">Wyczyść R</button>
    </div>
  </div>
  <div class="operations-container">
    <div class="operation-group">
      <h2>Operacje Podstawowe</h2>
      <div class="button-grid">
        <button class="btn1" onclick="addMatrices()">A + B = R</button>
        <button class="btn1" onclick="multiplyMatrices('A', 'B')">A × B = R</button>
        <button class="btn1" onclick="multiplyMatrices('B', 'A')">B × A = R</button>
      </div>
    </div>
    <div class="operation-group">
      <h2>Operacje Zaawansowane</h2>
      <div class="button-grid">
        <button class="btn1" onclick="adjugate('A')">adj(A) = R</button>
        <button class="btn1" onclick="inverse('A')">inv(A) = R</button>
        <button class="btn1" onclick="inverse('B')">inv(B) = R</button>
      </div>
    </div>
    <div class="operation-group">
      <h2>Przenoszenie Macierzy</h2>
      <div class="button-grid">
        <button class="btn1" onclick="swapMatrices('R', 'A')">R → A</button>
        <button class="btn1" onclick="swapMatrices('R', 'B')">R → B</button>
        <button class="btn1" onclick="swapMatrices('A', 'B')">A → B</button>
        <button class="btn1" onclick="swapMatrices('B', 'A')">B → A</button>
        <button class="btn1" onclick="swapMatrices('A', 'R')">A → R</button>
      </div>
    </div>
    <div class="operation-group">
      <h2>Wyznaczniki</h2>
      <div class="button-grid">
        <button class="btn1" onclick="calculateDeterminant('A')">det(A)</button>
        <input class="determinant-input" id="detA" placeholder="Wyznacznik A" readonly>
        <button class="btn1" onclick="calculateDeterminant('B')">det(B)</button>
        <input class="determinant-input" id="detB" placeholder="Wyznacznik B" readonly>
      </div>
    </div>
  </div>
</div>
<footer>
  <div class="container">
    <p>© 2025 <a href="https://skrip.pl/">Skrip.pl</a> - Wszystkie prawa zastrzeżone</p>
  </div>
</footer>
<script>
        // Funkcja do pobierania wartości z macierzy
        function getMatrixValues(matrixName) {
            const matrix = {};
            for (let i = 1; i <= 3; i++) {
                for (let j = 1; j <= 3; j++) {
                    const input = document.querySelector(`input[name="${matrixName.toLowerCase()}${i}${j}"]`);
                    matrix[`a${i}${j}`] = input.value ? parseFloat(input.value) : 0;
                }
            }
            return matrix;
        }
        
        // Funkcja do ustawiania wartości w macierzy
        function setMatrixValues(matrixName, values) {
            for (let i = 1; i <= 3; i++) {
                for (let j = 1; j <= 3; j++) {
                    const input = document.querySelector(`input[name="${matrixName.toLowerCase()}${i}${j}"]`);
                    // Formatowanie do 4 miejsc po przecinku dla lepszej czytelności
                    const value = values[`a${i}${j}`];
                    input.value = value !== undefined ? (Math.round(value * 10000) / 10000) : 0;
                }
            }
        }
        
        // Funkcja czyszcząca macierz
        function clearMatrix(matrixName) {
            for (let i = 1; i <= 3; i++) {
                for (let j = 1; j <= 3; j++) {
                    const input = document.querySelector(`input[name="${matrixName.toLowerCase()}${i}${j}"]`);
                    input.value = '';
                }
            }
            if (matrixName === 'A') document.getElementById('detA').value = '';
            if (matrixName === 'B') document.getElementById('detB').value = '';
        }
        
        // Funkcja dodająca macierze
        function addMatrices() {
            const A = getMatrixValues('A');
            const B = getMatrixValues('B');
            const R = {};
            
            for (let i = 1; i <= 3; i++) {
                for (let j = 1; j <= 3; j++) {
                    R[`a${i}${j}`] = A[`a${i}${j}`] + B[`a${i}${j}`];
                }
            }
            
            setMatrixValues('R', R);
        }
        
        // Funkcja mnożąca macierze
        function multiplyMatrices(matrix1, matrix2) {
            const M1 = getMatrixValues(matrix1);
            const M2 = getMatrixValues(matrix2);
            const R = {};
            
            for (let i = 1; i <= 3; i++) {
                for (let j = 1; j <= 3; j++) {
                    let sum = 0;
                    for (let k = 1; k <= 3; k++) {
                        sum += M1[`a${i}${k}`] * M2[`a${k}${j}`];
                    }
                    R[`a${i}${j}`] = sum;
                }
            }
            
            setMatrixValues('R', R);
        }
        
        // Funkcja obliczająca wyznacznik
        function calculateDeterminant(matrixName) {
            const M = getMatrixValues(matrixName);
            
            const det = (M.a11 * M.a22 * M.a33 + 
                         M.a21 * M.a32 * M.a13 + 
                         M.a12 * M.a23 * M.a31) - 
                        (M.a31 * M.a22 * M.a13 + 
                         M.a21 * M.a12 * M.a33 + 
                         M.a32 * M.a23 * M.a11);
            
            document.getElementById(`det${matrixName}`).value = Math.round(det * 10000) / 10000;
            return det;
        }
        
        // Funkcja obliczająca macierz dołączoną (adjugate)
        function adjugate(matrixName) {
            const M = getMatrixValues(matrixName);
            const R = {};
            
            R.a11 = M.a22 * M.a33 - M.a23 * M.a32;
            R.a12 = -1 * (M.a21 * M.a33 - M.a23 * M.a31);
            R.a13 = M.a21 * M.a32 - M.a22 * M.a31;
            R.a21 = -1 * (M.a12 * M.a33 - M.a13 * M.a32);
            R.a22 = M.a11 * M.a33 - M.a13 * M.a31;
            R.a23 = -1 * (M.a11 * M.a32 - M.a12 * M.a31);
            R.a31 = M.a12 * M.a23 - M.a13 * M.a22;
            R.a32 = -1 * (M.a11 * M.a23 - M.a21 * M.a13);
            R.a33 = M.a11 * M.a22 - M.a12 * M.a21;
            
            // Transpozycja macierzy dopełnień algebraicznych
            setMatrixValues('R', {
                a11: R.a11, a12: R.a21, a13: R.a31,
                a21: R.a12, a22: R.a22, a23: R.a32,
                a31: R.a13, a32: R.a23, a33: R.a33
            });
        }
        
        // Funkcja obliczająca macierz odwrotną
        function inverse(matrixName) {
            const det = calculateDeterminant(matrixName);
            
            if (det === 0) {
                alert("Wprowadzono macierz osobliwą.\nMacierze osobliwe nie mają macierzy odwrotnych.\nMożna to sprawdzić, obliczając wyznacznik równy 0.");
                return;
            }
            
            // Najpierw obliczamy macierz dołączoną
            adjugate(matrixName);
            
            // Pobieramy macierz dołączoną z R
            const adj = getMatrixValues('R');
            
            // Dzielimy każdy element przez wyznacznik
            const R = {};
            for (let i = 1; i <= 3; i++) {
                for (let j = 1; j <= 3; j++) {
                    R[`a${i}${j}`] = adj[`a${i}${j}`] / det;
                }
            }
            
            setMatrixValues('R', R);
        }
        
        // Funkcja przenosząca wartości między macierzami
        function swapMatrices(fromMatrix, toMatrix) {
            const fromValues = getMatrixValues(fromMatrix);
            setMatrixValues(toMatrix, fromValues);
        }
    </script>
</body>
</html>

Top Stories

Edytor Zdjęć Online – Darmowe Narzędzie do Edycji Obrazów

Macierz w Matematyce – Kalkulator Online

Kalkulator arytmetyczny międzysystemowy, konwerter systemów liczbowych oraz tekstu ASCII na Binarny